La somme des nombres entiers

Question

Question: que vaut la somme des nombres entiers?
Réponse : -1/12
Démonstration: allons-y!

La démonstration

Commençons par définir trois sommes qui seront utilisées ensuite:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 …

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 …

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 …

Nous cherchons donc à évaluer la valeur de la somme S, d’où nous avons fait disparaître le 0 initial.

Calculons le double de S1. Pour cela, écrivons-la une première fois, puis recopions la même sur la ligne suivante en décalant d’un cran comme suit:

2 S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1…

+ 1 - 1 + 1 - 1…

Chaque colonne (sauf la première) valant 0, on obtient l’égalité suivante:

2 S1 = 1, d’où S1 = 1/2

Intéressons-nous ensuite à S2 et décidons de calculer le double de cette somme. Pour cela, procédons comme précédemment en écrivant la même somme sur deux lignes consécutives, mais en décalant juste d’un cran:

2 S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - …

+ 1 - 2 + 3 - 4 + …

Il apparaît alors qu’en calculant par «colonne», on obtient alternativement +1 ou – 1.

Donc:

2 S2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1… = S1, qui vaut 1/2 comme montré précédemment.

Par conséquent:

S2 = 1/4

Après ces calculs préliminaires, venons-en à la somme qui nous préoccupe, nommée S en début d’article. Calculons S - S2:

S – S2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …) - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - …)

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … - 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + …

On observe alors le phénomène suivant: les nombres impairs disparaissent par simplification, tandis que chaque nombre pair est présent deux fois.

Donc:

S - S2 = (2 + 2) + (4 + 4) + (6 + 6) + … = 4 + 8 + 12 + …

Par ailleurs:

4 S = 4 x (1 + 2 + 3 + …) = 4 + 8 + 12 + …

Grâce aux deux lignes précédentes, on en déduit donc que:

S - S2 = 4 S

En remplaçant S2 par la valeur trouvée plus tôt, c’est-à-dire 1/4, puis en résolvant brièvement l’équation du premier degré obtenue (transformable en -1/4 = 3 S), on obtient le résultat suivant:

S = -1/12

Cette démonstration datant de 1735 est due au mathématicien suisse Leonhard Euler.

Est-elle correcte

Le lecteur peu se faire une idée et vérifier chaque étape du raisonnement

Preuve du contraire

Essayons par exemple de pouver que la somme des nombres entiers jusque N est positive si N>=1.

On peut le faire par récurrence.

Vrai pour N=1 : facile

Récurrence: Si c'est vrai pour N, alors c'est vrai por N+1. Comme la somme de nombres entiers positifs (La somme de 1à N d'une partt, (N+1) d'autre part) est positive, c'est vrai.

C'est tout: CQFD.

Malaise

Si deux démonstration mènent à des résultats contradictoires, c'est que l'une d'elles contient au moins une étape invalide.

Reste à trouver l'étape invalide!

Les séries non convergentes

Les objects manipulés dans la démonstration de 1735 sont des structures mathématqiues un peu particulières.

Il s'agit de SNC, de séries non convergentes (séries constituées d'entiers).

Que peut on faire légtimement avec de tels objets?

Peut-on les additioner, les soustraire? On peut certainement définir une addition, un élément neutre, une soustraction; cela demande déjà beaucoup de prudence formelle.

Peut-on les mettre dans une équation face à un grandeur entière, fractionnaire ou réelle ?

Eh bien, cela on ne peut pas le faire! Il n'y a aucun cadre forme formel, aucune structure mathématique qui permette de combiner dans une équation des SNC.

Rappellons que ce qui peut être fait avec des entiers,  des fractionnaires ou des réels est rendu légitime par l'existence de structures mathématqieus appellées groupes, champs, algèbre...

Rien de tel n'est défini pour des opérations combinant des SNC avec des grandeurs scalaires 8entiers, facrtionnaires réels).

La démonstration de 1735 s'appuie sur une exigence qui n'est pas remplie.

Dès la ligne de simplification ( 2 S1 = ... ) , il est procédé à des simplifications combinant SNC et entiers.. Invalide!