La somme des nombres entiers

La démonstration

Commençons par définir trois sommes qui seront utilisées ensuite:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 …

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 …

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 …

Nous cherchons donc à évaluer la valeur de la somme S, d’où nous avons fait disparaître le 0 initial.

Calculons le double de S1. Pour cela, écrivons-la une première fois, puis recopions la même sur la ligne suivante en décalant d’un cran comme suit:

2 S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1…

+ 1 - 1 + 1 - 1…

Chaque colonne (sauf la première) valant 0, on obtient l’égalité suivante:

2 S1 = 1, d’où S1 = 1/2

Intéressons-nous ensuite à S2 et décidons de calculer le double de cette somme. Pour cela, procédons comme précédemment en écrivant la même somme sur deux lignes consécutives, mais en décalant juste d’un cran:

2 S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - …

+ 1 - 2 + 3 - 4 + …

Il apparaît alors qu’en calculant par «colonne», on obtient alternativement +1 ou – 1.

Donc:

2 S2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1… = S1, qui vaut 1/2 comme montré précédemment.

Par conséquent:

S2 = 1/4

Après ces calculs préliminaires, venons-en à la somme qui nous préoccupe, nommée S en début d’article. Calculons S - S2:

S – S2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …) - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - …)

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … - 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + …

On observe alors le phénomène suivant: les nombres impairs disparaissent par simplification, tandis que chaque nombre pair est présent deux fois.

Donc:

S - S2 = (2 + 2) + (4 + 4) + (6 + 6) + … = 4 + 8 + 12 + …

Par ailleurs:

4 S = 4 x (1 + 2 + 3 + …) = 4 + 8 + 12 + …

Grâce aux deux lignes précédentes, on en déduit donc que:

S - S2 = 4 S

En remplaçant S2 par la valeur trouvée plus tôt, c’est-à-dire 1/4, puis en résolvant brièvement l’équation du premier degré obtenue (transformable en -1/4 = 3 S), on obtient le résultat suivant:

S = -1/12
Cette démonstration datant de 1735 est due au mathématicien suisse Leonhard Euler.